ஏதேனும் நான்கு இலக்க எண் ஒன்றை எடுத்து கொள்க. அதனை பெரிய எண்ணாகவும் சிறிய எண்ணாகவும் வருமாறு அதன் இலக்கங்களை மறு சீரமைத்து கொள்க. பெரிய எண்ணிலிருந்து சிறிய எண்ணை கழிக்க.
வருகின்ற விடையின் இலக்கங்களை மீண்டும் பெரிய எண்ணாகவும் சிறிய எண்ணாகவும் அதன் இலக்கங்கள் வருமாறு மறு சீரமைப்பு செய்க. மீண்டும் பெரிய எண்ணிலிருந்து சிறிய எண்ணை கழிக்க.
இவ்வாறு திரும்ப திரும்ப ஏழுபடி வரை செய்தால் இறுதியில் 6174 என்ற அதிசய எண் விடையாக வரும்.
உதாரணமாக 1960 என்ற எண்ணை எடுத்து கொள்வோம். இதன் பெரிய எண் 9610, சிறிய எண் 0169
1) 9610 - 0169 = 8441
2) 8441 - 1448 = 6993
3) 9963 - 3699 = 6264
4) 6642 - 2466 = 4176
5) 7641 - 1467 = 6174
இங்கு ஐந்தாவது படிமுறையில் இந்த அதிசய எண் கிடைத்துவிட்டது. இதே போன்று வேறு நான்கு இலக்க எண்ணை எடுத்து கொண்டு இறுதியில் இந்த 6174 என்ற அதிசய எண் வருகிறதா என சோதித்து பாருங்கள்.இது மிகச்சாதரணமாக தெரிந்தாலும் எந்த நான்கு இலக்க எண்களை எடுத்து கொண்டாலும் இறுதியில் மற்ற எண்கள் கிடைக்காமல் ஏன் இந்த அதிசய 6174 எண் மட்டும் வருகின்றது?
நான்கு இலக்க எண்கள் a,b,c,d என்பதாக எடுத்து கொள்வோம். இவைகள் 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 என்றவாறு இருப்பதாக கொள்வோம். இவைகள் ஒரே இலக்கங்கள் அன்று. இதனை ஏறுவரிசை மற்றும் இறங்கு வரிசையின்படி அடுக்கினால் பெரிய எண் abcd என்றும் சிறிய எண் dcba என்றும் கிடைக¢கின்றது,.
அதாவது abcd (-)dcba = ABCD என்றவாறு வருகின்றது,
இதில் D = 10 +d - a(as a>d)
C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b (as b>c-1)
B = b - 1 - c (as b>c)
A = a - d
கப்ரேக்கரின்(Kaprekar’s) வழிமுறையின்படி கணக்கிட்டால் இறுதியில் ABCD என வருகிறது. அனைத்து வழிகளிலும் பரிசோதிக்க 4! = 24 முறைகளில் பரிசோதிக்க வேண்டியுள்ளது.
அதன் இறுதியில் ABCD = bdac என வருகிறது. a=7, b=6, c=4 and d=1
பெரிய எண் 1000a + 100b + 10c + d
சிறிய எண் (-) a + 10b + 100c + 1000d
---------------------------------------------
999a + 90b - 90c - 999d = 999 (a-d) + 90 (b-c)
---------------------------------------------
இதில் (a-d) என்பது 1 லிருந்து 9 வரையும் (b-c) என்பது 0 லிருந்து 9 வரையும்
அனைத்து வாய்ப்புகளிலிருந்து கிடைக்கிறது,இதற்கான அட்டவணை பின்வருமாறு
அட்டவணை -1
இதில் (a-d)<(b-c ) என்பதை மட்டும் எடுத்துகொண்டு மீண்டும் மறுசீரமைப்பு செய்வதன் முலம் கிடைக்கு அட்டவணை பின்வருமாறு அட்டவணை -2
இறுதியில் இதில் இருமுறைவரும்எண்களை நீக்கிவிட்டபின் மிகுதி எண்கள் மட்டும் பின்வருமாறு
அட்டவணை – 3
இவ்வாறு அதிசய எண் மூன்று இலக்க எண்களில் உண்டா எனில் ஆம் 495 என்பது அதிசய எண் ஆகும்.
இரண்டு இலக்க எண்கள், ஐந்த இலக்க எண்கள், ஏழு இலக்க எண்கள் இல்லை.
ஆறு இலக்கத்திற்கு 549945, 631704 ஆகிய இரண்டு எண்கள் உள்ளன.
எட்டு இலக்கத்திற்கு 63317664, 97508421 ஆகிய இரண்டு எண்கள் உள்ளன.
கருத்துகள் இல்லை:
கருத்துரையிடுக